Rompicapo probabilistico: verso una soluzione della congettura di Goldbach?

di Rosario D’Amico

Abstract

Questo lavoro mira a fornire una serie di considerazioni che ci consentano di scorgere una possibile soluzione alla problematica questione della congettura “forte” di Goldbach, ossia che ogni numero naturale pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi non per forza distinti. Ciò adottando un metodo probabilistico assolutamente elementare rispetto ai tentativi classici di dimostrazione.

Introduzione

La congettura di Goldbach è uno dei più vecchi e irrisolti problemi di quella branca della matematica che studia le caratteristiche dei numeri interi. Essa, nella sua formulazione qui trattata e detta forte, afferma che ogni numero naturale pari maggiore di 2 è esprimibile come somma di due numeri primi non necessariamente distinti, ed è pertanto un’ipotesi sulle proprietà dei numeri primi e in particolare sulla loro distribuzione tra i numeri interi positivi.
Ma cosa deve intendersi esattamente per numero primo? Vi sono sostanzialmente due definizioni di numero primo: una annovera 1 tra i numeri primi, l’altra – ed è quella più largamente accettata dai matematici – lo esclude solo per mere ragioni di convenienza e opportunità.
Alla luce di ciò, il numero 1 è un numero primo? Siamo nel dubbio riguardo a questa questione. Sfruttare tale situazione di ambiguità come possibile leva per tentare di verificare la veridicità della congettura forte di Goldbach è l’obiettivo di questo lavoro.
Esso verrà raggiunto nel secondo dei due paragrafi che compongono questo scritto. Nel primo proporremo in via preliminare alcune definizioni e alcuni lemmi utili allo scopo di fissare le condizioni base del ragionamento che verrà sviluppato nel seguito. Nel secondo e ultimo paragrafo presenteremo un particolare esperimento casuale costruito in maniera tale da permetterci di ricondurre il problema della prova della congettura forte di Goldbach nell’ambito della teoria delle probabilità e, quindi, di cercarne una soluzione per l’esclusivo tramite di metodi probabilistici.

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